山東自考04184線性代數(shù)(經(jīng)管類)知識點押題資料

線性代數(shù)(經(jīng)管類)

考試-知識點押題資料

　　(★機密)

　　第1部分

　　(一)行列式的定義

　　行列式是指一個由若干個數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個式子，它實質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進行運算，其結(jié)果為一個確定的數(shù).

　　1.二階行列式

　　2.三階行列式

　　稱為一個三階行列式，它如何進行運算呢?教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.

　　3.余子式及代數(shù)余子式

　　對任何一個元素aij我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成

　　一個二階行列式，稱它為元素aij的余子式，記成Mij.

　　再記 Aij =(-1)i+jMij,稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式

　　例如A11= M11，A21=-M21，A31= M31

　　那么，三階行列式D，定義為

　　我 們 把 它 稱 為 D，按 第 一 列 的 展 開 式 ，經(jīng) 常 簡 寫 成

　　(二)行列式的性質(zhì)

　　性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即 D= D7

　　性質(zhì)2 用數(shù) k乘行列式 D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).

　　性質(zhì) 3 互換行列式的任意兩行(列)，行列式的值改變符號.推論 1 如果行列式中有某兩行(列)相同，則此行列式的值

　　等于零.

　　推論2 如果行列式中某兩行(列)的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.

　　性質(zhì) 4 行列式可以按行(列)拆開.

　　性質(zhì) 5 把行列式 D 的某一行(列)的所有元素都乘以同一個數(shù)以后加到另一行(列)的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為 D定理1(行列式展開定理)

　　(三)行列式的計算

　　行列式的計算主要采用以下兩種基本方法;

　　(1)利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角(或下三角)行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上(一1)，在按行或按列提取公因子 k 時，必須在新的行列式前面乘上 k.

　　(2)把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個"0"元素，再按這一行或這一列展開∶

　　解∶觀察到第二列第四行的元素為 0，而且第二列第1行的元素是a，=1，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開.

　　解∶方法1 這個行列式的元素含有文字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，因為文字可能取 0 值.要注意觀察其特點，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為α+3b(我們把它稱為行和相同行列式)，我們可以先把后三列都加到第1列上去，提出第1列的公因子a+3b，再將后三行都減去第1行;

　　方法2 觀察到這個行列式每一行元素中有多個b，我們采用"加邊法"來計算，即是構(gòu)造一個與D，有相同值的五階行列式∶

　　這樣得到一個"箭形"行列式，如果q=b，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)a ≠b，

　　即a-b≠0，把后四列的-倍加到第1列上，可以把第1列的(一1)化為零. a-b

　　稱為一個m 行n列矩陣或m×n矩陣

　　當(dāng)m=n時，稱A= (aij)mxn為n階矩陣或n 階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用Omxn或 O表示

　　3.矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個數(shù)表，而 n 階行列式的最后結(jié)果為一個數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數(shù)，而且行列式記號""與矩陣記號"(*)"也不同，不能用錯.

　　(二)矩陣的運算

　　1. 矩陣的同型與相等

　　陣.若A與B同型，且對應(yīng)元素相等，即a。=b，則稱矩陣A與B相等，記為A= B.

　　因而只有當(dāng)兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等.

　　2.矩陣的加、減法

　　故數(shù)k與矩陣A 的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k 與行列式D的乘積，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同。

　　矩陣的數(shù)乘運算具有普通數(shù)的乘法所具有的運算律.

　　4.乘法運算

　　由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A 的列數(shù)與右矩陣 B 的行數(shù)相等時，AB才有意義，而且矩陣AB 的行數(shù)為A 的行數(shù)，AB 的列數(shù)為 B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣 A中某一行元素與右矩陣 B 中某一列元素對應(yīng)相乘再相加而得到.

　　故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地∶

　?、俨粷M足交換律，即AB ≠ BA

　?、谠贏B = 0時，不能推出A=0或B =0，因而也不滿足消去律。

　　特別，若矩陣 A與B 滿足AB= B4，則稱A 與 B 可交換，此時A與B必為同階方陣.

　　矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.

　　5.方陣的乘冪與多項式方陣

　　稱 f(A)為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣

　　6.矩陣的轉(zhuǎn)置

　　設(shè)A為一個m×n矩陣，把A中行與列互換，得到一個n×m矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 AT，轉(zhuǎn)置運算滿足以下運算律∶

　　由轉(zhuǎn)置運算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義

　　設(shè)A為一個n階方陣，若A滿足AT=A，則稱A為對稱矩陣，若A滿足AT=-A，則稱A為反對稱矩陣.

　　7.方陣的行列式

　　矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.

　　設(shè) A=(a)為一個n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個n階行列式|aij|n稱為方陣。

　　A的行列式，記為|A|。

　　方陣的行列式具有下列性質(zhì)∶設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則

　　(三)方陣的逆矩陣

　　1.可逆矩陣的概念與性質(zhì)

　　設(shè)A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使?jié)M足AB= BA=E，則把 B

　　稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A 是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A 的逆矩陣 B記為A-1，從而A與A-1首先必可交換，且乘積為單位方陣 E.

　　逆矩陣具有以下性質(zhì)∶設(shè)A，B為同階可逆矩陣，k ≠0為常數(shù)，則

　?、貯-1是可逆矩陣，且(A-1)-1=A;

　?、贏B是可逆矩陣，且(AB)-1=B-1A-1;

　?、跭A是可避矩陣，且(kA)-1=

　　A-1

　?、蹵是可逆矩陣，且(AT)-1=(A-1)T

　?、菘赡婢仃嚳蓮木仃嚨仁降耐瑐?cè)消去，即

　　設(shè)P為可逆矩陣，則PA=PB ? A=B AP=BP? A=B

　　2.伴隨矩陣

　　設(shè)A=(aij)為一個n階方陣，Aij為A的行列式|A|=|aij|n中元素aij的代數(shù)余子

　　伴隨矩陣必滿足

　　AA*=A*A=|A|E

　　|A*|=|A|n-1(n為A的階數(shù))

　　3. n 階陣可逆的條件與逆矩陣的求法

　　定理∶n階方陣A可遞? |A|=0，且A-1=

　　A?

　　推論∶設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足AB=E，則A，B都可逆，且A-1=B，

　　B-1=A

　　(四)分塊矩陣

　　1.分塊矩陣的概念與運算

　　對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.

　　在作分塊矩陣的運算時，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時，要注意到應(yīng)使左矩陣A 的列分塊方式與右矩陣 B 的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來看待，相乘時 A 的各子塊分別左乘 B 的對應(yīng)的子塊.

　　2.準(zhǔn)對角矩陣的逆矩陣

　　(五)矩陣的初等變換與初等方陣

　　1.初等變換

　　對一個矩陣 A 施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行(列)變換，統(tǒng)稱為初等變換，

　　(1)交換A的某兩行(列);

　　(2)用一個非零數(shù)k乘A的某一行(列);

　　(3)把A中某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)上.

　　注意∶矩陣的初等變換與行列式計算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計算是求值過程，用等號連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用" →"連接前后矩陣.

　　初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€常用的運算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.

　　2.初等方陣

　　由單位方陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.

　　由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為Pij，Di(k)和Tij(k)，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.

　　3.初等變換與初等方陣的關(guān)系

　　設(shè)A為任一個矩陣，當(dāng)在 A的左邊乘一個初等方陣的乘積相當(dāng)于對 A作同類型的初等行變換;在 A 的右邊乘一個初等方陣的乘積相當(dāng)于對A 作同類型的初等列變換.

　　4.矩陣的等價與等價標(biāo)準(zhǔn)形

　　若矩陣 A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱 A與 B 等價，記為A≌B

　　5.用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣

　　設(shè)A為任一個n階可逆矩陣，構(gòu)造n×2n矩陣(A，E)然后 (A，E)→(E，A')

　　注意∶這里的初等變換必須是初等行變換.

　　(六)矩陣的秩

　　1. 秩的定義

　　設(shè)A為m×n矩陣，把A中非零子式的挺高階數(shù)稱為A的秩，記為秩(A)或r(4)

　　零矩陣的秩為0，因而0≤秩(A)≤min{m，n}，對n階方陣A，若秩(A)=n，稱 A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.

　　2.秩的求法

　　由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對任一個矩陣A，只要用初等行變換把A 化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).

　　3.與滿秩矩陣等價的條件

　　n階方陣A 滿秩? A可逆，即存在 B，使AB = B4=E→A非奇異，即A ≠0

　　? A的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 E

　　? A可以表示為有限個初等方陣的乘積

　　? 齊次線性方程組AX= 0)只有零解

　　? 對任意非零列向量b，非齊次線性方程組，AX =b有唯1解 A的行(列)向量組線性無關(guān)

　　? A的行(列)向量組為Rn的一個基

　　? 任意n維行(列)向量均可以表示為A 的行(列)向量組的線性組合，且表示法唯1.

　　? A的特征值均不為零

　　? AT A為正定矩陣.

　　(七)線性方程組的消元法.

　　可以表示成矩陣形式AX=b，其中A=(aij)m×n為系數(shù)矩陣，

　　b=(b1，b2，.…，bm)T為常數(shù)列矩陣，X =(x1，x2，.，xn，)T為未知元列矩陣.

　　從而線性方程組 AX =b與增廣矩陣A=(4，b)一一對應(yīng).

　　對于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.

　　第三部分

　　(一)n 維向量的定義與向量組的線性組合

　　1.n 維向量的定義與向量的線性運算

　　由n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即1×n矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即n×1矩陣

　　與矩陣線性運算類似，有向量的線性運算及運算律.

　　2.向量的線性組合

　　設(shè)α1，α2，…，αm是一組n維向量，k1，k2，…，km是一組常數(shù)，則稱 k1α1+k2α2+…+kmαm

　　為α1，α2，…，αm的一個線性組合，常數(shù)k1，k2，…，km稱為組合系數(shù).

　　若一個向量 β可以表示成 k1α1+k2α2+…+kmαm

　　則稱β是α1，α2，…，αm的線性組合，或稱β可用α1，α2，…，αm線性表出.

　　3.矩陣的行、列向量組

　　設(shè)A為一個m×n矩陣，若把A按列分塊，可得一個m維列向量組稱之為A的列向量組.

　　若把A按行分塊，可得一個n維行向量組稱之為A的行向量組.

　　4.線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.

　　向量 β 能用α1，α2，…，αm線性表出的充要條件是線性方程組

　　X1α1+x2α2+…+xmam=β有解，且每一個解就是一個組合系數(shù).

　　(二)向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

　　1. 線性相關(guān)性概念

　　設(shè)α1，α2，…，αm是m個n維向量，如果存在m個不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，使得

　　k1α1+k2α2+…+kmαm=O，則稱向量組α1，α2，…，αm，線性相關(guān)，稱k1，k2，…，km為相關(guān)系數(shù).否則，稱向量α1，α2，…，αm線性無關(guān).

　　由定義可知，α1，α2，…，αm線性無關(guān)就是指向量等式

　　k1α1+k2α2+…+kmαm=O當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=…=km=0時成立.

　　特別 單個向量α線性相關(guān)? α=0;

　　單個向量α 線性無關(guān)? α≠ 0

　　2.求相關(guān)系數(shù)的方法

　　設(shè)α1，α2，…，αm為m個n維列向量，則α1，α2，…，αm線性相關(guān)? m元齊次線性方程組x;α+x，α。+…+xα。=0有非零解，且每一個非零解就是一個相關(guān)系數(shù)? 矩陣 A = (α1，α2，…，αm)的秩小于m

　　例2 設(shè)向量組α1=(2，-1，7)T，α2=(1，4，11)T，α3=(3，-6，3)T，試討論其線性相關(guān)性.

　　解∶考慮方程組x1α1 +x2α2 +x3α3 = 0

　　3.線性相關(guān)性的若干基本定理

　　定理1 n維向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)臺 至少有一個向量是其余向量的線性

　　組合.即α1，α2，…，αm線性無關(guān)? 任一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.

　　定理2 如果向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān)，又β，α1，α2，…，αm線性相關(guān)，則β可以用α1，α2，…，αm線性表出，且表示法是唯1的.

　　定理3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).

　　定理 4 無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān).

　　(三)向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩

　　1.向量組等價的概念

　　若向量組 S可以由向量組R 線性表出，向量組 R也可以由向量組 S 線性表出，則稱這兩個向量組等價.

　　2.向量組的極大無關(guān)組

　　設(shè)T為一個向量組，若存在T的一個部分組S，它是線性無關(guān)的，且T中任一個向量都能由 S 線性表示，則稱部分向量組S為T的一個極大無關(guān)組.

　　顯然，線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身.

　　對于線性相關(guān)的向量組，一般地，它的極大無關(guān)組不是唯1的，但有以下性質(zhì)∶定理1 向量組T與它的任一個極大無關(guān)組等價，因而T的任意兩個極大無關(guān)組

　　等價.

　　定理2 向量組T 的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同.

　　3.向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系

　　把向量組 T的任意一個極大無關(guān)組中的所含向量的個數(shù)稱為向量組 T的秩.

　　把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A 的列秩.定理∶ 對任一個矩陣 A，A的列秩=A的行秩=秩(A)

　　此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個矩陣 A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關(guān)組.

　　例3 求出下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出a1=(11-2,7)),a2=(-I,-2,2,-9),a3=(-I,I,-6,6),a4=(2,1,4,3),a5=(2,4,4,3)

　　解∶把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個4×5矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣

　　易見B 的秩為 4，A的秩為 4，從而秩{α1，α2，，α3，α4，α5}=4，而且B中主元位于第1、二、三、五列，那么相應(yīng)地α1，α2，，α3，α4，α5為向量組的一個極大無關(guān)組，而且a4=-α2-a3